【中学3年生向け】二次関数の応用① 放物線と三角形の面積3問

大問１

(1) A (-2, 2)、B (4, 8)、直線AB： y = x + 4
【解説】Aの x 座標 -2 を \(y=\frac{1}{2}x^2\) に代入して y = 2、Bの x 座標 4 を代入して y = 8となる。

直線の式を y = ax + b とし、2点 (-2, 2)、(4, 8) を代入して連立方程式を解くと、傾きは1となり、切片は 4 となる。

(2) 12
【解説】直線ABと y 軸との交点Cの座標は (0, 4) となり、OC = 4となる。

△OABを y 軸で左右の2つの三角形に分ける。底辺をOCとすると、面積は 4 × 2 ÷ 2 + 4 × 4 ÷ 2 = 4 + 8 = 12

(3) \(\frac{9}{2}\)
【解説】P (6, 0) と A (-2, 2) を通る直線APの傾きは \(\frac{0 - 2}{6 - (-2)} = -\frac{1}{4}\)

式は \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\) となる。y 軸との交点Dの座標は (0, \(\frac{3}{2}\))

△OPDは OD = \(\frac{3}{2}\) を底辺、点Pの x 座標 6 を高さとする三角形なので、面積は \(\frac{3}{2}\) × 6 ÷ 2 = \(\frac{9}{2}\)

大問２

(1) A (-2, 4)、B (3, 9)、直線AB： y = x + 6
【解説】Aの x 座標 -2 を y = x² に代入して y = 4。Bの x 座標 3 を代入して y = 9

2点 (-2, 4)、(3, 9) を通る直線を求めると、傾きは \(\frac{9 - 4}{3 - (-2)} = 1\)となり、y = x + b に (-2, 4) を代入して切片は 6

(2) 15
【解説】直線ABと y 軸との交点Cは (0, 6) となり、OC = 6

△OABを y 軸で左右に分け、OC を底辺とすると、面積は 6 × 2 ÷ 2 + 6 × 3 ÷ 2 = 6 + 9 = 15

(3) 9
【解説】P (6, 0) と A (-2, 4) を通る直線APの傾きは \(\frac{0 - 4}{6 - (-2)} = -\frac{1}{2}\)

式は \(y=-\frac{1}{2}x+3\) となる。y 軸との交点Dの座標は (0, 3)で、△OPDは OD = 3 を底辺、点Pの x 座標 6 を高さとする三角形なので、面積は 3 × 6 ÷ 2 = 9

大問３

(1) A (-4, 8)、B (2, 2)、直線AB： y = -x + 4
【解説】Aの x 座標 -4 を \(y=\frac{1}{2}x^2\) に代入して y = 8で、Bの x 座標 2 を代入して y = 2

2点 (-4, 8)、(2, 2) を通る直線を求めると、傾きは \(\frac{2 - 8}{2 - (-4)} = -1\)だから、y = -x + b に (2, 2) を代入して切片は 4

(2) 12
【解説】直線ABと y 軸との交点Cは (0, 4) となり、OC = 4

△OABを y 軸で左右に分け、OC を底辺とすると、面積は 4 × 4 ÷ 2 + 4 × 2 ÷ 2 = 8 + 4 = 12

(3) 36
【解説】P (12, 0) と A (-4, 8) を通る直線APの傾きは \(\frac{0 - 8}{12 - (-4)} = -\frac{1}{2}\)

式は \(y=-\frac{1}{2}x+6\) となる。y 軸との交点Dの座標は (0, 6)だから、△OPDは OD = 6 を底辺、点Pの x 座標 12 を高さとする三角形なので、面積は 6 × 12 ÷ 2 = 36