二次関数の学習において、「変化の割合」は定期テストや高校入試で絶対に落とせない重要単元です。特に「与えられた変化の割合から、未知の点の座標を求める」問題は、文字式を立てて二次方程式を解くという、数学の総合力が試される典型的な応用パターンです。
今回は、解法の流れ（①座標を求める → ②変化の割合の式を作る → ③方程式を解いて条件に合う解を選ぶ）を完全にマスターできるよう、全く同じ思考プロセスで解ける演習問題を3問用意しました。
1問ごとにしっかり解き方を確認しながら進めることで、どんな数値が出ても迷わず式を立てられる確固たる計算力と応用力が身につきます。ぜひ挑戦してみてください！
問題と解答は以下からPDFで印刷できます。
【中学3年生向け】二次関数の応用② 変化の割合から座標を求める問題3問
大問１
関数\(y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフ上に2点A、Bがあり、Aのx座標は−2、Bのx座標は4である。また、関数のグラフ上に点Cをとり、Cのx座標は4より大きいものとする。次の問いに答えなさい。
(1) 点A、Bの座標をそれぞれ求めなさい。
(2) xの値が−2から4まで増加するときの、yの値の変化の割合を求めなさい。
(3) xの値が4からCのx座標まで増加するときの、yの値の変化の割合が5になるとき、点Cのx座標を求めなさい。
大問２
関数\(y=x^2\)のグラフ上に2点A、Bがあり、Aのx座標は−1、Bのx座標は3である。また、関数のグラフ上に点Cをとり、Cのx座標は3より大きいものとする。次の問いに答えなさい。
(1) 点A、Bの座標をそれぞれ求めなさい。
(2) xの値が−1から3まで増加するときの、yの値の変化の割合を求めなさい。
(3) xの値が3からCのx座標まで増加するときの、yの値の変化の割合が7になるとき、点Cのx座標を求めなさい。
大問３
関数\(y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフ上に2点A、Bがあり、Aのx座標は−4、Bのx座標は2である。また、関数のグラフ上に点Cをとり、Cのx座標は2より大きいものとする。次の問いに答えなさい。
(1) 点A、Bの座標をそれぞれ求めなさい。
(2) xの値が−4から2まで増加するときの、yの値の変化の割合を求めなさい。
(3) xの値が2からCのx座標まで増加するときの、yの値の変化の割合が3になるとき、点Cのx座標を求めなさい。
【解答・解説】
大問１
(1) A(−2, 2)、B(4, 8)
【解説】
Aのx座標−2を\(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して\(y=\frac{1}{2}\times(-2)^2=2\)となる。
同様にBのx座標4を代入して\(y=\frac{1}{2}\times4^2=8\)となる。
(2) 1
【解説】
xの値が−2から4まで増加するとき、yの値は2から8まで増加する。
変化の割合は\(\frac{8-2}{4-(-2)}=\frac{6}{6}=1\)となる。
(3) 6
【解説】
点Cのx座標をtとすると、y座標は\(\frac{1}{2}t^2\)と表せる。
xの値が4からtまで増加するときの変化の割合が5なので、\(\frac{\frac{1}{2}t^2-8}{t-4}=5\)という方程式が成り立つ。
両辺に\((t-4)\)をかけて整理すると、\(\frac{1}{2}t^2-8=5t-20\)より、\(t^2-10t+24=0\)となる。
これを因数分解すると\((t-4)(t-6)=0\)となり、t=4, 6が解となる。「Cのx座標は4より大きい」という条件からt=6が適する。
大問２
(1) A(−1, 1)、B(3, 9)
【解説】
Aのx座標−1を\(y=x^2\)に代入して\(y=(-1)^2=1\)となる。
同様にBのx座標3を代入して\(y=3^2=9\)となる。
(2) 2
【解説】
xの値が−1から3まで増加するとき、yの値は1から9まで増加する。
変化の割合は\(\frac{9-1}{3-(-1)}=\frac{8}{4}=2\)となる。
(3) 4
【解説】
点Cのx座標をtとすると、y座標は\(t^2\)と表せる。
xの値が3からtまで増加するときの変化の割合が7なので、\(\frac{t^2-9}{t-3}=7\)という方程式が成り立つ。
両辺に\((t-3)\)をかけて整理すると、\(t^2-9=7t-21\)より、\(t^2-7t+12=0\)となる。
これを因数分解すると\((t-3)(t-4)=0\)となり、t=3, 4が解となる。「Cのx座標は3より大きい」という条件からt=4が適する。
大問３
(1) A(−4, 8)、B(2, 2)
【解説】
Aのx座標−4を\(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して\(y=\frac{1}{2}\times(-4)^2=8\)となる。
同様にBのx座標2を代入して\(y=\frac{1}{2}\times2^2=2\)となる。
(2) −1
【解説】
xの値が−4から2まで増加するとき、yの値は8から2まで増加する。
変化の割合は\(\frac{2-8}{2-(-4)}=\frac{-6}{6}=-1\)となる。
(3) 4
【解説】
点Cのx座標をtとすると、y座標は\(\frac{1}{2}t^2\)と表せる。
xの値が2からtまで増加するときの変化の割合が3なので、\(\frac{\frac{1}{2}t^2-2}{t-2}=3\)という方程式が成り立つ。
両辺に\((t-2)\)をかけて整理すると、\(\frac{1}{2}t^2-2=3t-6\)より、\(t^2-6t+8=0\)となる。
これを因数分解すると\((t-2)(t-4)=0\)となり、t=2, 4が解となる。「Cのx座標は2より大きい」という条件からt=4が適する。
【中学3年生向け】二次関数の応用② 変化の割合から座標を求める問題3問 まとめ
「変化の割合」の応用問題でスムーズに正解を導くためのポイントは、以下の3ステップです。
- 求める点のx座標を文字（tなど）でおき、y座標も関数の式を使って表す
- 「yの増加量 ÷ xの増加量 ＝ 変化の割合」の方程式を正しく立てる
- 二次方程式を解いたあと、「〜より大きい」という問題文の条件に合う解をしっかり選ぶ
方程式を解いた際、もう一方の点のx座標が解として出てくる理由まで理解できるようになると、この単元の理解度は一気に深まります。今回掴んだ解法のテンポを忘れないうちに、ぜひ何も見ずに自力で解き直して、完璧な自分の武器にしていきましょう！
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