【中3数学】二次方程式の利用(文章題) 30本ノック

中学3年生の数学で、多くの人がつまずきやすいのが「二次方程式の利用（文章題）」です。「文章から自分で方程式を立てるのが苦手……」と悩んでいる人も多いですよね。

しかし、数の性質や図形の面積、動点問題など、テストに出題されるパターンはある程度決まっています。今回は、定期テスト対策はもちろん、公立高校入試などの受験対策にも使える実戦形式の練習問題を用意しました。

ページをそのまま印刷して使えるようにしており、各問題の解答のすぐ下には、つまずきやすいポイントを押さえた詳しい解説もセットにしています。ぜひ繰り返し解いて、文章題を確実な得点源にしていきましょう！

【問題】二次方程式の利用（文章題）

■ 【第1章】解に関する問題（1〜5）

1. 二次方程式

x^2 + ax - 12 = 0

の1つの解が

x = 3

であるとき、

a

の値ともう1つの解を求めなさい。

2. 二次方程式

x^2 - 5x + b = 0

の1つの解が

x = -2

であるとき、

b

の値ともう1つの解を求めなさい。

3. 2つの解が

x = 2, -5

となるような

x^2 + px + q = 0

の形をした二次方程式を作りなさい。（

p, q

の値を求めなさい）
4. 二次方程式

x^2 + ax + b = 0

の解が

x = -3, 4

であるとき、

a, b

の値を求めなさい。

5. 二次方程式

2x^2 + ax + b = 0

の解が

x = 1, -\frac{3}{2}

であるとき、

a, b

の値を求めなさい。

■ 【第2章】数の性質に関する問題（6〜12）

6. 大小2つの自然数がある。その差は4で、積は45である。この2つの自然数を求めなさい。

7. 大小2つの整数がある。大きい数から小さい数をひいた差は5で、それぞれの平方の和は73である。この2つの整数を求めなさい。

8. 連続する2つの正の整数がある。それぞれの平方の和が113になるとき、この2つの整数を求めなさい。

9. 連続する3つの自然数がある。もっとも小さい数ともっとも大きい数の積は、真ん中の数の4倍より4大きい。この3つの自然数を求めなさい。

10. 連続する3つの正の偶数がある。もっとも大きい数の平方は、他の2つの数の平方の和に等しい。この3つの偶数を求めなさい。

11. ある正の数に3を加えてから2乗するところを、誤って3を加えてから2倍してしまったため、正しい答えより15小さくなった。もとの正の数を求めなさい。

12. 各位の数の和が10である2けたの自然数がある。この自然数の十の位の数と一の位の数をかけ合わせると21になる。もとの自然数をすべて求めなさい。

■ 【第3章】平面図形・面積に関する問題（13〜19）

13. 縦の長さが横の長さより $3\text{cm}$ 短い長方形がある。この長方形の面積が $40\text{cm}^2$ であるとき、縦と横の長さを求めなさい。

14. 周の長さが $28\text{cm}$ 、面積が $48\text{cm}^2$ の長方形がある。この長方形の縦と横の長さを求めなさい。（ただし、縦より横の方が長いものとする）

15. 縦が $12\text{cm}$ 、横が $16\text{cm}$ の長方形の画用紙がある。縦と横から同じ長さずつ切り取ってできた長方形の面積が、もとの面積の半分である $96\text{cm}^2$ になった。縦と横から何cmずつ切り取ったか求めなさい。

16. 縦が $10\text{cm}$ 、横が $14\text{cm}$ の長方形の畑の中に、縦・横に平行な同じ幅の道を十字に作ったところ、残りの畑の面積が $88\text{m}^2$ になった。道の幅を求めなさい。

17. 半径が $8\text{cm}$ の円がある。この円の半径を $x\text{cm}$ だけ長くしたら、面積がもとの円の面積の2倍になった。 $x$ の値を求めなさい。

18. 直角をはさむ2辺の長さの和が $14\text{cm}$ で、面積が $40\text{cm}^2$ である直角三角形がある。直角をはさむ2辺の長さを求めなさい。

19. 1辺が $x\text{cm}$ の正方形がある。縦を $2\text{cm}$ 長くし、横を $3\text{cm}$ 短くして長方形を作ったところ、面積が $24\text{cm}^2$ になった。もとの正方形の1辺の長さを求めなさい。

■ 【第4章】動点に関する問題（20〜23）

20. 1辺が $10\text{cm}$ の正方形ABCDがある。点Pは頂点Aを出発して、毎秒 $1\text{cm}$ の速さで辺AB上をBまで動く。点Qは点Pと同時に頂点Aを出発して、毎秒 $2\text{cm}$ の速さで辺AD上をDまで動く。 $\triangle \text{APQ}$ の面積が $16\text{cm}^2$ になるのは、出発してから何秒後か求めなさい。

21. $\text{AB} = 6\text{cm}$ 、 $\text{BC} = 8\text{cm}$ 、 $\angle \text{B} = 90^\circ$ の直角三角形ABCがある。点PはAを出発して辺AB上を毎秒 $1\text{cm}$ の速さでBまで動く。点Qは点Pと同時にBを出発して辺BC上を毎秒 $2\text{cm}$ の速さでCまで動く。 $\triangle \text{PBQ}$ の面積が $8\text{cm}^2$ になるのは、出発してから何秒後か求めなさい。

22. $\text{AB} = 12\text{cm}$ 、 $\text{BC} = 16\text{cm}$ の長方形ABCDがある。点PはAを出発し、毎秒 $1\text{cm}$ の速さで辺AB上をBまで動く。点QはBを出発し、毎秒 $2\text{cm}$ の速さで辺BC上をCまで動く。2点P、Qが同時に出発するとき、 $\triangle \text{DPQ}$ の面積が $84\text{cm}^2$ になるのは何秒後か求めなさい。

23. 長さ $14\text{cm}$ の線分AB上に点Pをとり、AP、PBをそれぞれ1辺とする正方形を作る。2つの正方形の面積の和が $100\text{cm}^2$ になるとき、線分APの長さを求めなさい。（ただし、 $\text{AP} < \text{PB}$ とする）

■ 【第5章】空間図形・体積に関する問題（24〜27）

24. 横の長さが縦の長さより $4\text{cm}$ 長い長方形の厚紙がある。この四隅から1辺が $3\text{cm}$ の正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ったところ、容積が $135\text{cm}^3$ になった。もとの厚紙の縦の長さを求めなさい。

25. 底面の半径と高さが等しい円柱がある。この円柱の高さを $2\text{cm}$ 高くし、底面の半径をそのままにしたところ、体積がもとの円柱の体積より $18\pi \text{cm}^3$ 大きくなった。もとの円柱の底面の半径を求めなさい。

26. 高さが $6\text{cm}$ で、横の長さが縦の長さより $1\text{cm}$ 長い直方体がある。この直方体の体積が $72\text{cm}^3$ であるとき、この直方体の縦の長さを求めなさい。

27. 高さが $5\text{cm}$ 、底面の半径が $x\text{cm}$ の円柱がある。この円柱の底面積と側面積の和が $24\pi \text{cm}^2$ であるとき、 $x$ の値を求めなさい。

【解答・解説】二次方程式の利用（文章題）

■ 【第1章】解に関する問題
1. 【解答】 $a = 1$ , もう1つの解: $x = -4$
【解説】 $x = 3$ を代入して $9 + 3a - 12 = 0$ より $a = 1$ 。元の式に代入して $x^2 + x - 12 = 0$ を解くと、 $(x - 3)(x + 4) = 0$ より $x = 3, -4$ となる。

2. 【解答】 $b = -14$ , もう1つの解: $x = 7$
【解説】 $x = -2$ を代入して $4 + 10 + b = 0$ より $b = -14$ 。元の式に代入して $x^2 - 5x - 14 = 0$ を解くと、 $(x + 2)(x - 7) = 0$ より $x = -2, 7$ となる。

3. 【解答】 $p = 3, q = -10$
【解説】 2つの解が分かっている場合、 $(x - 2)(x + 5) = 0$ という式を作って展開する。 $x^2 + 3x - 10 = 0$ となるため、元の式と比較する。

4. 【解答】 $a = -1, b = -12$
【解説】 解が $-3, 4$ なので、 $(x + 3)(x - 4) = 0$ を展開して $x^2 - x - 12 = 0$ 。

5. 【解答】 $a = 1, b = -3$
【解説】 $2(x - 1)(x + \frac{3}{2}) = 0$ を展開すると $2(x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}) = 0$ となり、 $2x^2 + x - 3 = 0$ となる。

■ 【第2章】数の性質に関する問題
6. 【解答】 $9$ と $5$
【解説】 小さい数を $x$ とすると大きい数は $x + 4$ 。 $x(x + 4) = 45$ を解いて $x^2 + 4x - 45 = 0$ 、 $(x - 5)(x + 9) = 0$ 。自然数なので $x = 5$ 。

7. 【解答】 $8$ と $3$ 、または $-3$ と $-8$
【解説】 小さい数を $x$ とすると大きい数は $x + 5$ 。 $x^2 + (x + 5)^2 = 73$ を解いて $2x^2 + 10x - 48 = 0$ 、 $x^2 + 5x - 24 = 0$ 、 $(x - 3)(x + 8) = 0$ 。整数なので $x = 3, -8$ の両方が当てはまる。

8. 【解答】 $7$ と $8$
【解説】 連続する正の整数を $x, x + 1$ とする。 $x^2 + (x + 1)^2 = 113$ を解いて $2x^2 + 2x - 112 = 0$ 、 $x^2 + x - 56 = 0$ 、 $(x - 7)(x + 8) = 0$ 。正の数より $x = 7$ 。

9. 【解答】 $4, 5, 6$
【解説】 3つの自然数を $x - 1, x, x + 1$ とする。 $(x - 1)(x + 1) = 4x + 4$ を解いて $x^2 - 1 = 4x + 4$ 、 $x^2 - 4x - 5 = 0$ 、 $(x - 5)(x + 1) = 0$ 。自然数より真ん中の数 $x = 5$ 。

10. 【解答】 $6, 8, 10$
【解説】 3つの偶数を $x, x + 2, x + 4$ とする。 $(x + 4)^2 = x^2 + (x + 2)^2$ を解いて $x^2 + 8x + 16 = 2x^2 + 4x + 4$ 、 $x^2 - 4x - 12 = 0$ 、 $(x - 6)(x + 2) = 0$ 。正の数より $x = 6$ 。

11. 【解答】 $2$
【解説】 もとの数を $x$ とする。 $(x + 3)^2 - 15 = 2(x + 3)$ を解いて $x^2 + 6x + 9 - 15 = 2x + 6$ 、 $x^2 + 4x - 12 = 0$ 、 $(x - 2)(x + 6) = 0$ 。正の数より $x = 2$ 。

12. 【解答】 $37$ と $73$
【解説】 十の位を $x$ とすると一の位は $10 - x$ 。 $x(10 - x) = 21$ を解いて $x^2 - 10x + 21 = 0$ 、 $(x - 3)(x - 7) = 0$ 。十の位が3のときは一の位が7、十の位が7のときは一の位が3となる。

■ 【第3章】平面図形・面積に関する問題
13. 【解答】 縦 $5\text{cm}$ , 横 $8\text{cm}$
【解説】 横を $x$ とすると縦は $x - 3$ 。 $x(x - 3) = 40$ を解いて $x^2 - 3x - 40 = 0$ 、 $(x - 8)(x + 5) = 0$ 。 $x > 3$ より横は8cm、縦は5cm。

14. 【解答】 縦 $6\text{cm}$ , 横 $8\text{cm}$
【解説】 「縦＋横」は周の半分の14cm。縦を $x$ とすると横は $14 - x$ 。 $x(14 - x) = 48$ を解いて $x^2 - 14x + 48 = 0$ 、 $(x - 6)(x - 8) = 0$ 。縦の方が短いので $x = 6$ 。

15. 【解答】 $4\text{cm}$
【解説】 切り取る長さを $x$ とする。新しい長方形は縦 $12 - x$ 、横 $16 - x$ 。 $(12 - x)(16 - x) = 96$ を解いて $x^2 - 28x + 96 = 0$ 、 $(x - 4)(x - 24) = 0$ 。 $0 < x < 12$ より $x = 4$ 。

16. 【解答】 $2\text{cm}$
【解説】 道を端に寄せて考える。畑の残りは縦 $10 - x$ 、横 $14 - x$ の長方形。 $(10 - x)(14 - x) = 88$ を解いて $x^2 - 24x + 52 = 0$ 、 $(x - 2)(x - 22) = 0$ 。 $0 < x < 10$ より $x = 2$ 。

17. 【解答】 $x = 8\sqrt{2} - 8$
【解説】 もとの面積は $64\pi$ 。新しい面積はその2倍の $128\pi$ 。 $\pi(8 + x)^2 = 128\pi$ を解いて $(8 + x)^2 = 128$ 、 $8 + x = \pm 8\sqrt{2}$ 。 $x > 0$ より $x = 8\sqrt{2} - 8$ 。

18. 【解答】 $4\text{cm}$ と $10\text{cm}$
【解説】 1辺を $x$ とするともう1辺は $14 - x$ 。 $\frac{1}{2}x(14 - x) = 40$ を解いて $x^2 - 14x + 80 = 0$ 、 $(x - 4)(x - 10) = 0$ 。よって辺は4cmと10cm。

19. 【解答】 $6\text{cm}$
【解説】 新しい長方形の縦は $x + 2$ 、横は $x - 3$ 。 $(x + 2)(x - 3) = 24$ を解いて $x^2 - x - 30 = 0$ 、 $(x - 6)(x + 5) = 0$ 。 $x > 3$ より $x = 6$ 。

■ 【第4章】動点に関する問題
20. 【解答】 $4$ 秒後
【解説】 $x$ 秒後、 $\text{AP} = x$ 、 $\text{AQ} = 2x$ 。面積は $\frac{1}{2} \times x \times 2x = x^2$ 。 $x^2 = 16$ より $x = \pm 4$ 。QがDに着くまで5秒なので、条件に合うのは $4$ 秒後。

21. 【解答】 $2$ 秒後と $4$ 秒後
【解説】 $x$ 秒後、 $\text{BP} = 6 - x$ 、 $\text{BQ} = 2x$ 。面積は $\frac{1}{2}(6 - x) \times 2x = 8$ 。展開して $x^2 - 6x + 8 = 0$ 、 $(x - 2)(x - 4) = 0$ 。 $0 \leqq x \leqq 4$ なので両方適する。

22. 【解答】 $2$ 秒後と $6$ 秒後
【解説】 直接 $\triangle \text{DPQ}$ の面積を求めるのではなく、長方形全体の面積から周りの3つの直角三角形の面積を引く。 $12 \times 16 - \{\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot x + \frac{1}{2}(12 - x) \cdot 2x + \frac{1}{2} \cdot 12(16 - 2x)\} = 84$ を解くと $x^2 - 8x + 12 = 0$ となり、 $x = 2, 6$ 。

23. 【解答】 $6\text{cm}$
【解説】 $\text{AP} = x$ とすると $\text{PB} = 14 - x$ 。 $x^2 + (14 - x)^2 = 100$ を解いて整理すると $x^2 - 14x + 48 = 0$ 、 $(x - 6)(x - 8) = 0$ 。 $\text{AP} < \text{PB}$ の条件から $x < 7$ なので $x = 6$ 。

■ 【第5章】空間図形・体積に関する問題
24. 【解答】 $11\text{cm}$
【解説】 もとの縦を $x$ とすると横は $x + 4$ 。箱の底面は縦 $x - 6$ 、横 $x - 2$ となる。体積は $3(x - 6)(x - 2) = 135$ 。これを解いて $x^2 - 8x - 33 = 0$ 、 $(x + 3)(x - 11) = 0$ 。 $x > 6$ より $x = 11$ 。

25. 【解答】 $3\text{cm}$
【解説】 もとの半径と高さを $r$ とする。体積の差は $\pi r^2(r + 2) - \pi r^2 \times r = 18\pi$ 。展開すると $2\pi r^2 = 18\pi$ となり、 $r^2 = 9$ 。 $r > 0$ より $r = 3$ 。

26. 【解答】 $3\text{cm}$
【解説】 縦を $x$ とすると横は $x + 1$ 。体積は $6x(x + 1) = 72$ 。両辺を6で割って $x(x + 1) = 12$ 、 $x^2 + x - 12 = 0$ 、 $(x - 3)(x + 4) = 0$ 。 $x > 0$ より $x = 3$ 。

27. 【解答】 $x = 2$
【解説】 底面積は $\pi x^2$ 、側面積は（底面の円周×高さ）より $2\pi x \times 5 = 10\pi x$ 。和が $24\pi$ なので $\pi x^2 + 10\pi x = 24\pi$ 。両辺を $\pi$ で割り $x^2 + 10x - 24 = 0$ 、 $(x - 2)(x + 12) = 0$ 。 $x > 0$ より $x = 2$ 。