一次関数の式を求める基本が身についたら、次はいよいよ「グラフと図形」の融合問題です。変域の考え方から始まり、2直線の交点、三角形の面積、そして入試頻出の「面積を2等分する直線（等積変形）」まで、ステップアップしながら全50問にチャレンジしてみてください！
問題と解答は以下からPDFで印刷できます。
【中学2年生向け】一次関数(変域と面積・等積変形) 練習問題 50本ノック
大問１
1) 一次関数 y = 2x + 3 について、x の変域が -1 <= x <= 3 のときの y の変域を求めなさい。
(2) 一次関数 y = -3x + 5 について、x の変域が -2 <= x <= 4 のときの y の変域を求めなさい。
(3) 一次関数 y = \(\frac{1}{2}\)x – 4 について、x の変域が 2 <= x <= 6 のときの y の変域を求めなさい。
(4) 一次関数 y = -x – 2 について、x の変域が -4 <= x <= -1 のときの y の変域を求めなさい。
(5) 一次関数 y = -2x + 5 について、x の変域が x >= 1 のときの y の変域を求めなさい。
(6) 一次関数 y = ax + 3 について、x の変域が -2 <= x <= 4 のとき、y の変域が -5 <= y <= 19 となった。a の値を求めなさい。（ただし、a > 0 とする）
(7) 一次関数 y = 2x + b について、x の変域が -1 <= x <= 3 のとき、y の変域が 1 <= y <= 9 となった。b の値を求めなさい。
(8) 一次関数 y = ax + b について、x の変域が 1 <= x <= 3 のとき、y の変域が 2 <= y <= 8 となった。a、b の値を求めなさい。（ただし、a < 0 とする）
大問２
(9) 2点 (1, 3), (4, 9) を通る直線の変化の割合を求めなさい。
(10) 一次関数 y = -4x + 7 の変化の割合を答えなさい。
(11) 一次関数 y = \(\frac{2}{3}\)x – 1 について、x の値が 3 増加したときの y の増加量を求めなさい。
(12) 変化の割合が 3 の一次関数について、x の増加量が 4 のときの y の増加量を求めなさい。
(13) 2点 (-2, 5), (3, a) を通る直線の変化の割合が -2 のとき、a の値を求めなさい。
(14) 変化の割合が \(\frac{1}{2}\) の一次関数があり、x = 2 のとき y = 3 である。x = 6 のときの y の値を求めなさい。
(15) 関数 y = x^2 について、x の値が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
(16) 関数 y = x^2 について、x の値が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合と、一次関数 y = ax + 5 の変化の割合が等しいとき、a の値を求めなさい。
大問３
(17) グラフが 2点 (2, 5), (4, 9) を通る一次関数の式を求めなさい。
(18) グラフが 2点 (-3, 8), (1, -4) を通る一次関数の式を求めなさい。
(19) x軸との交点が (4, 0)、y軸との交点が (0, -2) である直線の式を求めなさい。
(20) y軸上の切片が 3 で、点 (2, 7) を通る直線の式を求めなさい。
(21) 傾きが -2 で、点 (3, -1) を通る直線の式を求めなさい。
(22) 傾きが \(\frac{1}{2}\) で、点 (4, 5) を通る直線の式を求めなさい。
(23) 直線 y = 2x – 3 に平行で、点 (1, 4) を通る直線の式を求めなさい。
(24) 2点 (-2, -5), (4, 7) を通る直線上の点で、y座標が 13 となる点の x座標を求めなさい。
大問４
(25) 2直線 y = 2x + 1 と y = -x + 7 の交点の座標を求めなさい。
(26) 2直線 y = 3x – 5 と y = x + 3 の交点の座標を求めなさい。
(27) 2直線 2x + y = 8 と x – 2y = -1 の交点の座標を求めなさい。
(28) 直線 y = ax + 3 と直線 y = -2x + 9 の交点の x座標が 2 のとき、a の値を求めなさい。
(29) 2直線 y = x + 2 と y = -2x + 14 の交点をAとする。点Aの座標を求めなさい。
(30) 点 (2, 5) を通り直線 y = -3x + 1 に平行な直線と、直線 y = x – 1 との交点の座標を求めなさい。
(31) 2直線 y = 2x – 1 と y = -x + 8 について、交点の座標を求めなさい。また、x = 4 のとき、どちらの直線の y の値が大きいか答えなさい。
(32) 直線 y = 3x – 2 と x軸との交点、および直線 y = -x + 6 と x軸との交点の座標をそれぞれ求めなさい。
大問５
(33) 直線 y = -2x + 8 と x軸、y軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい。
(34) 直線 y = \(\frac{1}{2}\)x + 3 と x軸、y軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい。
(35) 2直線 y = x + 4、y = -2x + 10 の交点と、この2直線が x軸と交わる2つの点を頂点とする三角形の面積を求めなさい。
(36) 2直線 y = 2x + 6、y = -x + 6 の交点と、この2直線が x軸と交わる2つの点を頂点とする三角形の面積を求めなさい。
(37) 4点 O(0, 0), A(4, 0), B(4, 5), C(0, 3) を頂点とする台形の面積を求めなさい。
(38) 3点 A(1, 1), B(5, 1), C(3, 7) を頂点とする三角形の面積を求めなさい。
(39) 原点Oを通り、直線 y = -x + 6 と x軸、y軸で囲まれた三角形の面積を2等分する直線の式を求めなさい。
(40) 点 A(0, 8)、点 B(4, 0) とする。直線AB上に点Pをとり、三角形OAPの面積が 16 となるような点Pの座標を求めなさい。（ただし、点Pの x座標は正とする）
(41) 2直線 y = x + 2、y = -x + 8 の交点と、この2直線が y軸と交わる2つの点を頂点とする三角形の面積を求めなさい。
(42) 直線 y = 2x + 4 上に点Aがあり、点Aの x座標は 3 である。点Aから x軸に下ろした垂線と x軸の交点をBとするとき、三角形OABの面積を求めなさい。
大問６
(43) 3点 A(1, 6), B(0, 0), C(4, 0) を頂点とする三角形ABCがある。点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めなさい。
(44) 3点 A(-2, 4), B(-4, 0), C(2, 0) を頂点とする三角形ABCがある。点Cを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めなさい。
(45) 4点 O(0, 0), A(2, 6), B(8, 6), C(6, 0) を頂点とする平行四辺形OABCがある。原点Oを通り、この平行四辺形の面積を2等分する直線の式を求めなさい。
(46) 3点 A(2, 5), B(-2, 0), C(4, 0) を頂点とする三角形ABCがある。y軸上に点Pをとり、三角形PBCの面積が三角形ABCの面積と等しくなるようにしたい。点Pの y座標が正のとき、点Pの座標を求めなさい。
(47) 3点 A(-1, 3), B(1, 0), C(5, 0) を頂点とする三角形ABCがある。点Aを通り底辺BCに平行な直線と、y軸との交点をPとする。このとき、点Pの座標と、三角形PBCの面積を求めなさい。
(48) 直線 y = x + 2 上に点 A(2, 4) がある。また、x軸上に点 B(6, 0) がある。三角形OABと三角形OPBの面積が等しくなるような点Pを直線 y = x + 2 上にとるとき、点Pの座標を求めなさい。（ただし、点Pは点Aとは異なる点とする）
(49) 2直線 y = 2x と y = -x + 6 の交点をAとし、直線 y = -x + 6 と x軸との交点をBとする。このとき、点Aの座標と三角形OABの面積を求めなさい。
(50) (49)において、原点Oを通り、三角形OABの面積を2等分する直線の式を求めなさい。
解答と解説
大問１
(1) 1 ≦ y ≦ 9
【解説】x = -1 のとき y = 1、x = 3 のとき y = 9 になります。
(2) -7 ≦ y ≦ 11
【解説】傾きが負のため、大小が入れ替わります。x = -2 のとき y = 11、x = 4 のとき y = -7 になります。
(3) -3 ≦ y ≦ -1
【解説】x = 2 を代入して y = -3、x = 6 を代入して y = -1 です。
(4) -1 ≦ y ≦ 2
【解説】x = -4 のとき y = 2、x = -1 のとき y = -1 になります。
(5) y ≦ 3
【解説】x = 1 のとき y = 3で、傾きが負なので、x が増えると y は減り続けます。
(6) a = 4
【解説】a > 0 なので、x = -2 のとき y = -5 となります。-2a + 3 = -5 より -2a = -8、よって a = 4 となります。（x = 4 を代入すると y = 4 × 4 + 3 = 19 となり整合します）
(7) b = 3
【解説】傾きが正なので x = -1 のとき y = 1 と対応します。2 * (-1) + b = 1 より b = 3。
(8) a = -3、b = 11
【解説】a < 0 なので x = 1 のとき y = 8、x = 3 のとき y = 2 と対応します。a + b = 8、3a + b = 2 の連立方程式を解きます。
大問２
(9) 2
【解説】\(\frac{9 - 3}{4 - 1}\) = \(\frac{6}{3}\) = 2
(10) -4
【解説】一次関数の変化の割合は、常に傾きの値と同じです。
(11) 2
【解説】y の増加量 = 変化の割合 × x の増加量 = \(\frac{2}{3}\) × 3 = 2
(12) 12
【解説】3 × 4 = 12
(13) a = -5
【解説】\(\frac{a - 5}{3 - (-2)}\) = -2 より、\(\frac{a - 5}{5}\) = -2で、a – 5 = -10 となり a = -5。
(14) y = 5
【解説】x の増加量は 6 – 2 = 4で、y の増加量は 4 × \(\frac{1}{2}\) = 2より、 y = 3 + 2 = 5
(15) 4
【解説】x = 1 のとき y = 1、x = 3 のとき y = 9で、\(\frac{9 - 1}{3 - 1}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4
(16) a = 6
【解説】y = x2 について、x = 2 のとき y = 4、x = 4 のとき y = 16で、変化の割合は \(\frac{16 - 4}{4 - 2}\) = 6より、一次関数の傾き a も 6 になります。
大問３
(17) y = 2x + 1
【解説】傾き a = \(\frac{9 - 5}{4 - 2}\) = 2で、y = 2x + b に (2, 5) を代入して b = 1
(18) y = -3x – 1
【解説】傾き a = \(\frac{-4 - 8}{1 - (-3)}\) = -3で、y = -3x + b に (1, -4) を代入して b = -1
(19) y = \(\frac{1}{2}\)x – 2
【解説】y軸との交点より切片 b = -2で、(4, 0) を通るので、傾きは \(\frac{0 - (-2)}{4 - 0}\) = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)
(20) y = 2x + 3
【解説】y = ax + 3 に (2, 7) を代入し、7 = 2a + 3 より a = 2
(21) y = -2x + 5
【解説】y = -2x + b に (3, -1) を代入し、-1 = -6 + b より b = 5
(22) y = \(\frac{1}{2}\)x + 3
【解説】y = \(\frac{1}{2}\)x + b に (4, 5) を代入し、5 = 2 + b より b = 3
(23) y = 2x + 2
【解説】平行な直線は傾きが同じなので a = 2で、y = 2x + b に (1, 4) を代入して b = 2
(24) x = 7
【解説】2点から直線の式を求めると y = 2x – 1で、y = 13 を代入し、13 = 2x – 1 より 2x = 14、x = 7
大問４
(25) (2, 5)
【解説】2x + 1 = -x + 7 を解くと 3x = 6 より x = 2で、y = 5
(26) (4, 7) 【解説】3x – 5 = x + 3 を解くと 2x = 8 より x = 4、y = 7
(27) (3, 2)
【解説】連立方程式を解きます。2x + y = 8、-2x + 4y = 2 を足すと 5y = 10 で y = 2、x = 3
(28) a = 1
【解説】x = 2 のときの y座標は、y = -2 × 2 + 9 = 5となり、もう一つの式 y = ax + 3 に (2, 5) を代入し、5 = 2a + 3 より a = 1
(29) A(4, 6)
【解説】x + 2 = -2x + 14 を解いて x = 4で、式に代入して y = 6
(30) (3, 2)
【解説】平行な直線は傾き -3で、(2, 5) を通るので y = -3x + 11となり、これと y = x – 1 を連立して解きます。
(31) 交点：(3, 5)、y = 2x – 1 の方が大きい
【解説】交点は 2x – 1 = -x + 8 より x = 3、y = 5 です。x = 4 をそれぞれ代入すると、y = 2 × 4 – 1 = 7、y = -4 + 8 = 4 となります。したがって、y = 2x – 1 の方が大きくなります。
(32)
直線 y = 3x – 2 の x軸との交点：(\(\frac{2}{3}\), 0)
直線 y = -x + 6 の x軸との交点：(6, 0)
【解説】x軸との交点は y = 0 のときの x の値です。
大問５
(33) 16 cm²
【解説】y切片は (0, 8)、x切片は 0 = -2x + 8 より (4, 0)で、底辺 4、高さ 8 の三角形になります。4 × 8 ÷ 2 = 16
(34) 9 cm²
【解説】y切片は (0, 3)、x切片は 0 = \(\frac{1}{2}\)x + 3 より (-6, 0)。底辺 6、高さ 3 の三角形です。6 × 3 ÷ 2 = 9
(35) 27 cm²
【解説】2直線の交点は (2, 6)、x軸との交点はそれぞれ (-4, 0) と (5, 0)で、底辺の長さは 5 – (-4) = 9、高さは交点の y座標 6になるため、面積は \(\frac{9 × 6}{2}\) = \(\frac{54}{2}\) = 27
(36) 27 cm²
【解説】2直線の交点は y軸上の (0, 6)、x軸との交点は (-3, 0) と (6, 0)より、底辺の長さは 6 – (-3) = 9、高さは 6なので、面積は \(\frac{9 × 6}{2}\) = \(\frac{54}{2}\) = 27
(37) 16 cm²
【解説】線分OC（長さ 3）を上底、線分AB（長さ 5）を下底とする台形です。高さはOAの長さ 4 となります。面積は \(\frac{(3 + 5) × 4}{2}\) = \(\frac{8 × 4}{2}\) = \(\frac{32}{2}\) = 16
(38) 12 cm²
【解説】線分ABを底辺とすると長さは 5 – 1 = 4で、高さは点Cの y座標からABの y座標を引いた 7 – 1 = 6になるため、面積は \(\frac{4 × 6}{2}\) = \(\frac{24}{2}\) = 12
(39) y = x
【解説】三角形の面積を二等分する直線は、向かい合う辺の中点を通ります。
2点 \((x_1, y_1)\) と \((x_2, y_2)\) の中点の座標は \((\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})\) となります。
直線 y = -x + 6 と x軸との交点 (6, 0)、y軸との交点 (0, 6) の中点の座標を求めます。
x座標：\(\frac{6 + 0}{2}\) = 3
y座標：\(\frac{0 + 6}{2}\) = 3
よって、中点の座標は (3, 3) となります。
求める直線は原点 (0, 0) と中点 (3, 3) を通るので、式は y = x となります。
(40) P(4, 0)
【解説】直線ABの式は y = -2x + 8で、三角形OAPの面積が 16 のとき、底辺OA（長さ 8）に対する高さは \(\frac{16 × 2}{8}\) = \(\frac{32}{8}\) = 4となり、点Pの x座標が 4 なので、y = -2 × 4 + 8 = 0
(41) 9 cm²
【解説】交点は (3, 5)、y軸上の切片は (0, 2) と (0, 8) なので、底辺の長さは 8 – 2 = 6で、高さは交点の x座標 3 となります。面積は \(\frac{6 × 3}{2}\) = \(\frac{18}{2}\) = 9
(42) 15 cm²
【解説】点Aの x座標が 3 なので、y = 2 × 3 + 4 = 10。点Aは (3, 10)、点Bは (3, 0) となります。底辺OBの長さは 3、高さABの長さは 10で、面積は \(\frac{3 × 10}{2}\) = \(\frac{30}{2}\) = 15
大問６
(43) y = -6x + 12
【解説】点Aと、底辺BCの中点を通る直線を求めます。BCの中点は (2, 0)。(1, 6) と (2, 0) を通る直線の式を求めます。
(44) y = –\(\frac{2}{5}\)x + \(\frac{4}{5}\)
【解説】点Cと、辺ABの中点を通る直線を求めます。ABの中点は (-3, 2)となり、(2, 0) と (-3, 2) を通る直線の式を求めます。
(45) y = \(\frac{3}{4}\)x
【解説】平行四辺形の面積を二等分する直線は、必ず対角線の交点を通ります。対角線の交点は、向かい合う頂点（ここでは O(0, 0) と B(8, 6)）の中点と一致します。
x座標：\(\frac{0 + 8}{2}\) = 4
y座標：\(\frac{0 + 6}{2}\) = 3
よって、対角線の交点の座標は (4, 3) となります。
求める直線は原点 (0, 0) と交点 (4, 3) を通るので、式は y = \(\frac{3}{4}\)x となります。
(46) P(0, 5)
【解説】底辺BCが共通なので、高さが等しければ面積も等しくなります。点Aの y座標が 5 なので、点Pの y座標も 5 となります。よって y軸上の点Pは (0, 5) です。
(47) 点P(0, 3)、面積 6 cm²
【解説】底辺BCは x軸上にあるので、これに平行な直線は y = 3 となります。よって y軸との交点Pは (0, 3) です。底辺BCの長さは 4、高さは 3 なので、面積は \(\frac{4 × 3}{2}\) = \(\frac{12}{2}\) = 6
(48) P(-6, -4)
【解説】底辺をOBとすると、三角形OABの高さは点Aの y座標 4で、面積が等しくなるには、点Pの高さの絶対値も 4 になります。直線 y = x + 2 上で y = -4 となる x座標を求めます。
(49) A(2, 4)、面積は 12 cm²
【解説】交点Aの座標は方程式を解いて (2, 4)、点Bの座標は (6, 0)で、底辺OBの長さは 6、高さは点Aの y座標 4 なので、面積は \(\frac{6 × 4}{2}\) = \(\frac{24}{2}\) = 12
(50) y = \(\frac{1}{2}\)x
【解説】原点Oを通り、三角形OABの面積を二等分する直線は、底辺となる線分ABの中点を通ります。(49)で求めた頂点 A(2, 4) と、頂点 B(6, 0) の中点の座標を求めます。
x座標：\(\frac{2 + 6}{2}\) = 4
y座標：\(\frac{4 + 0}{2}\) = 2
よって、中点の座標は (4, 2) となります。
求める直線は原点 (0, 0) と中点 (4, 2) を通るので、式は y = \(\frac{1}{2}\)x となります。
【中学2年生向け】一次関数(変域と面積・等積変形) 練習問題 50本ノック まとめ
お疲れ様でした！
グラフを用いた面積や等積変形の問題は、高校入試でも非常によく出題される重要なテーマです。「直線の式を求める」「交点の座標を求める」「図形の性質に当てはめる」という一連のステップをスムーズにこなせるようになるまで、繰り返し復習してみてくださいね！
その他の数学の問題を練習したい方はこちら↓
『こんな練習問題が欲しい』という要望があれば，問い合わせフォームから遠慮なくご連絡ください！
コメント