中学3年生の数学で学習する二次関数は、高校入試でも必ず出題される超重要単元です。つまずきやすい「変化の割合」や「変域」、そして入試で頻出となる「一次関数との交点」「図形の面積」などの総合応用まで、絶対に押さえておきたい50題を厳選しています。ぜひ挑戦してみてください！
問題と解答は以下からPDFで印刷できます。
【中学3年生向け】二次関数 練習問題(基礎～標準) 50本ノック
大問１
(1) 次のア〜ウのうち、y が x の二次関数であるものを選びなさい。
ア：y = 3x イ：y = 3x² ウ：\(y=\frac{3}{x}\)
(2) y = -2x² について、x = 3 のときの y の値を求めなさい。
(3) \(y=\frac{1}{2}x^2\)について、x = -4 のときの y の値を求めなさい。
(4) y = ax² について、x = 2 のとき y = 12 である。a の値を求めなさい。
(5) y = -3x² について、x = -2 のときの y の値を求めなさい。
(6) y = ax² のグラフが点 (2, 8) を通るとき、a の値を求めなさい。
(7) y = 2x² と y = -2x² について、x = 3 のときの y の値をそれぞれ求めなさい。
(8) y = ax² のグラフについて、a > 0 のときと a < 0 のとき、グラフはそれぞれ上下どちらの向きに開いているか答えなさい。
大問２
(9) x = 2 のとき y = 12 となる二次関数の式を求めなさい。
(10) x = -3 のとき y = -18 となる二次関数の式を求めなさい。
(11) y = 2x² について、x の値が -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 のときの y の値をそれぞれ求めなさい。
(12) \(y=-\frac{1}{2}x^2\)について、x の値が -4, -2, 0, 2, 4 のときの y の値をそれぞれ求めなさい。
(13) y = 3x² のグラフ上にある点を、次のア〜ウから選びなさい。
ア：(2, 6) イ：(-1, 3) ウ：(3, 9)
(14) 点 (2, -8) を通る二次関数の式を求めなさい。
(15) y = ax² が点 (-3, 27) を通るとき、a の値を求めなさい。
(16) y = ax² が点 (4, -32) を通るとき、a の値を求めなさい。
(17) y = 2x² について、y = 18 となる x の値をすべて求めなさい。
(18) y = -3x² について、y = -27 となる x の値をすべて求めなさい。
大問３
(19) y = 2x² について、次の表の空欄にあてはまる y の値を求め、表を完成させなさい。
| x | 1 | 2 | 3 |
| y |
(20) y = -x² について、次の表の空欄にあてはまる y の値を求め、表を完成させなさい。
| x | -2 | -1 | 0 |
| y |
(21) y = 2x² について、x の値が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
(22) y = 3x² について、x の値が 2 から 5 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
(23) y = -2x² について、x の値が -1 から 2 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
(24) y = ax² について、x の値が 2 から 5 まで増加するときの変化の割合が 14 であった。a の値を求めなさい。
(25) y = ax² について、x の値が 1 から 4 まで増加するときの変化の割合が 10 であった。a の値を求めなさい。
(26) y = ax² のグラフ上に2点 A, B があり、x座標はそれぞれ -2 と 4 である。この2点間の変化の割合が 6 のとき、a の値を求めなさい。
大問４
(27) グラフ上に、二次関数 y = ax² の点A (2, 8) がある。 ① a の値を求めなさい。 ② この二次関数の式を求めなさい。
(28) グラフ上に、二次関数 y = ax² の点A (-3, 18) がある。 ① a の値を求めなさい。 ② x = 5 のときの y の値を求めなさい。
(29) 下のグラフには、y = x²、y = 2x²、\(y=\frac{1}{2}x^2\) の3つのグラフがある。 x = 2 のとき、それぞれのグラフの y の値を求めなさい。また、x = 2 において、最も大きい y の値と最も小さい y の値の差を求めなさい。
(30) 下のグラフに、y = 2x² と y = -2x² のグラフを示してある。 x = 3 のとき、それぞれの y の値を求めなさい。また、2つの点の y 座標の差を求めなさい。
(31) y = 2x² のグラフ上に、点A (-2, 8)、点B (2, 8) がある。 ① AとBの x 座標の関係を答えなさい。 ② AとBの y 座標が等しくなる理由を、二次関数の性質を使って説明しなさい。
(32) \(y=\frac{1}{2}x^2\) のグラフ上に点A (-4, 8) がある。点Aと y 軸について対称な点をBとする。 ① 点Bの座標を求めなさい。 ② 点A、点Bについて、x 座標と y 座標の関係を説明しなさい。
(33) y = 2x² のグラフ上に、点A、Bがある。Aの x 座標は -2、Bの x 座標は 4 である。 ① A、Bの座標をそれぞれ求めなさい。 ② 直線ABの傾きを求めなさい。
(34) 下のグラフに、二次関数 y = x² と一次関数 y = 2x + 3 のグラフを示す。2つのグラフの交点の座標をすべて求めなさい。
(35) 下のグラフに、二次関数 y = x² と一次関数 y = -x + 2 のグラフを示す。2つのグラフの交点の x 座標をすべて求めなさい。
(36) 二次関数 y = ax² のグラフと直線 y = 4x が、原点以外の点でも交わっている。交点の x 座標が 4 であるとき、a の値を求めなさい。
大問５
(37) y = 2x² について、x の変域が -2 ≦ x ≦ 3 のときの y の変域を求めなさい。
(38) y = -x² について、x の変域が -3 ≦ x ≦ 2 のときの y の変域を求めなさい。
(39) y = 3x² について、x の変域が 1 ≦ x ≦ 4 のときの y の最大値と最小値を求めなさい。
(40) y = -2x² について、x の変域が -3 ≦ x ≦ 1 のときの y の最大値と最小値を求めなさい。
(41) y = ax² (a > 0) について、x の変域が -2 ≦ x ≦ 1 のとき、y の最大値が 8 であった。a の値を求めなさい。
(42) \(y=\frac{1}{2}x^2\) のグラフ上に点A (-4, 8) がある。点Aと y 軸について対称な点をBとする。
① 点Bの座標を求めなさい。
②ついて、x の変域が -4 ≦ x ≦ 2 のときの y の変域を求めなさい。
大問６
(43) 1辺の長さが x cm の正方形の面積を y cm² とする。y を x の式で表しなさい。
(44) 直角をはさむ2辺の長さがそれぞれ 10 cm の直角二等辺三角形がある。この2辺上を、頂点からそれぞれ毎秒 1 cm の速さで遠ざかる2点が作る三角形の面積を、x 秒後に y cm² とする。（ただし 0 ≦ x ≦ 10 とする）y を x の式で表しなさい。
(45) 1辺の長さが 10 cm の正方形ABCDがある。点PはAを出発して辺AB上をBまで毎秒 1 cm の速さで動き、点QはAを出発して辺AD上をDまで毎秒 1 cm の速さで動く。出発してからの時間を x 秒（0 ≦ x ≦ 10）、三角形APQの面積を y cm² とするとき、y を x の式で表しなさい。
(46) y = x² について、x の値が 1 から t まで増加するときの変化の割合が、一次関数 y = 3x + 2 の傾きと等しくなる。t の値を求めなさい。
(47) 直線 l が二次関数 y = ax² のグラフと2点 A, B で交わっている。点Aの x 座標は -2、点Bの x 座標は 4 であり、直線 l の傾きは 2 である。このとき、a の値を求めなさい。
(48) 関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\) のグラフ上に、x 座標が -2, 4 である2点A、Bがある。2点A、Bを通る直線の式を求めなさい。
(49) 上記(48)において、直線ABと y 軸との交点をCとする。このとき、三角形OABの面積を求めなさい。（Oは原点）
(50) 上記(49)において、原点Oを通り、三角形OABの面積を2等分する直線の式を求めなさい。
【解答・解説】
大問１
(1) イ
【解説】二次関数は y = ax² の形で表される。アは一次関数、ウは反比例となる。
(2) y = -18
【解説】y = -2 × 3² = -2 × 9 = -18
(3) y = 8
【解説】y = \(\frac{1}{2}\) × (-4)² = \(\frac{1}{2}\) × 16 = 8
(4) a = 3
【解説】12 = a × 2² より 4a = 12 となり a = 3
(5) y = -12
【解説】y = -3 × (-2)² = -3 × 4 = -12
(6) a = 2
【解説】8 = a × 2² より 4a = 8 となり a = 2
(7) y = 2x² のとき y = 18、y = -2x² のとき y = -18
(8) a > 0 のとき：上に開く（下に凸）、a < 0 のとき：下に開く（上に凸）
大問２
(9) y = 3x²
【解説】12 = a × 2² より a = 3
(10) y = -2x²
【解説】-18 = a × (-3)² より 9a = -18 となり a = -2
(11) 順に 18, 8, 2, 0, 2, 8, 18
(12) 順に -8, -2, 0, -2, -8
(13) イ
【解説】x = -1 のとき y = 3 × (-1)² = 3 となるのはイである。
(14) y = -2x²
【解説】-8 = a × 2² より a = -2
(15) a = 3
【解説】27 = 9a より a = 3
(16) a = -2
【解説】-32 = 16a より a = -2
(17) x = 3, -3
【解説】18 = 2x² より x² = 9 となり x = ±3
(18) x = 3, -3
【解説】-27 = -3x² より x² = 9 となり x = ±3
大問３
(19) 左から順に 2, 8, 18
(20) 左から順に -4, -1, 0
(21) 8
【解説】x = 1 のとき y = 2、x = 3 のとき y = 18 となる。変化の割合は \(\frac{18 - 2}{3 - 1} = \frac{16}{2} = 8\)
(22) 21
【解説】x = 2 のとき y = 12、x = 5 のとき y = 75 となる。変化の割合は \(\frac{75 - 12}{5 - 2} = \frac{63}{3} = 21\)
(23) -2
【解説】x = -1 のとき y = -2、x = 2 のとき y = -8 となる。変化の割合は \(\frac{-8 - (-2)}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\)
(24) a = 2
【解説】x = 2 のとき y = 4a、x = 5 のとき y = 25a となる。変化の割合が 14 なので、\(\frac{25a - 4a}{5 - 2} = 14\) より \(\frac{21a}{3} = 14\) となり 7a = 14。よって a = 2
(25) a = 2
【解説】x = 1 のとき y = a、x = 4 のとき y = 16a となる。変化の割合が 10 なので、\(\frac{16a - a}{4 - 1} = 10\) より \(\frac{15a}{3} = 10\) となり 5a = 10。よって a = 2
(26) a = 3
【解説】x = -2 のとき y = 4a、x = 4 のとき y = 16a となる。変化の割合が 6 なので、\(\frac{16a - 4a}{4 - (-2)} = 6\) より \(\frac{12a}{6} = 6\) となり 2a = 6。よって a = 3
大問４
(27) ① a = 2 ② y = 2x²
【解説】y = ax² に x = 2, y = 8 を代入する。8 = a × 2² より 4a = 8 となり a = 2
(28) ① a = 2 ② y = 50
【解説】
① 18 = a × (-3)² より 9a = 18 となり a = 2
② 式は y = 2x² となるので、x = 5 を代入して y = 2 × 25 = 50
(29) 値：順に 4, 8, 2 差：6
【解説】x = 2 をそれぞれ代入する。最も大きい値は y = 2x² のときの 8、最も小さい値は \(y=\frac{1}{2}x^2\) のときの 2 となる。差は 8 – 2 = 6
(30) 値：18 と -18 差：36
【解説】18 – (-18) = 36。x 軸を折り目として対称になっているため、y 座標の絶対値は同じで符号が反対になる。
(31)
① 互いに符号が反対の数（絶対値が等しい）
② 二次関数のグラフは y 軸について対称であるため。（または、x を2乗すると正負に関わらず同じ値になるため）
(32)
① B (4, 8)
② x 座標は絶対値が等しく符号が反対になり、y 座標は等しい。
(33)
① A (-2, 8)、B (4, 32)
② 4
【解説】
① x = -2 を代入して y = 8、x = 4 を代入して y = 32 となる。
② 傾きは変化の割合と同じなので \(\frac{32 - 8}{4 - (-2)} = \frac{24}{6} = 4\)
(34) (3, 9)、(-1, 1)
【解説】式同士を連立して解く。x² = 2x + 3 より x² – 2x – 3 = 0 ⇒ (x – 3)(x + 1) = 0 となり x = 3, -1。それぞれ式に代入して y 座標を求める。
(35) x = -2, 1
【解説】x² = -x + 2 より x² + x – 2 = 0 ⇒ (x + 2)(x – 1) = 0 となり x = -2, 1
(36) a = 1
【解説】交点の x 座標が 4 なので、直線 y = 4x に代入すると y = 16。交点は (4, 16) となる。これを y = ax² に代入して、16 = a × 4² より 16a = 16 となり a = 1
大問５
(37) 0 ≦ y ≦ 18
【解説】変域に x = 0 を含むため最小値は 0。最大値は原点から一番遠い x = 3 のときで、y = 2 × 3² = 18
(38) -9 ≦ y ≦ 0
【解説】変域に x = 0 を含むため最大値は 0。最小値は原点から一番遠い x = -3 のときで、y = -(-3)² = -9
(39) 最大値 48、最小値 3
【解説】変域に x = 0 を含まないため両端を代入する。x = 1 のとき最小値 3、x = 4 のとき最大値 48 となる。
(40) 最大値 0、最小値 -18
【解説】変域に x = 0 を含むため最大値は 0。最小値は原点から一番遠い x = -3 のときで、y = -2 × (-3)² = -18
(41) a = 2
【解説】最大値は原点から遠い x = -2 のときとなる。8 = a × (-2)² より 4a = 8 となり a = 2
(42) 0 ≦ y ≦ 8
【解説】変域に x = 0 を含むため最小値は 0。最大値は原点から遠い x = -4 のときで、y = \(\frac{1}{2}\) × 16 = 8
大問６
(43) y = x²
(44) \(y=\frac{1}{2}x^2\)
【解説】x 秒後の底辺は x cm、高さは x cm となる。面積 y = x × x ÷ 2 = \(\frac{1}{2}x^2\)
(45) \(y=\frac{1}{2}x^2\)
【解説】AP = x cm、AQ = x cm となるため、三角形APQの面積は y = \(\frac{1}{2}x^2\)
(46) t = 2
【解説】一次関数 y = 3x + 2 の傾きは 3 となる。y = x² について、x の値が 1 から t まで増加するときの変化の割合は \(\frac{t^2 - 1^2}{t - 1} = 3\) と表せる。\(\frac{(t - 1)(t + 1)}{t - 1} = 3\) より約分して t + 1 = 3 を解くと t = 2
(47) a = 1
【解説】Aの座標は (-2, 4a)、Bの座標は (4, 16a) となる。直線の傾き 2 は、2点間の変化の割合に等しいため \(\frac{16a - 4a}{4 - (-2)} = 2\) となる。これを計算すると \(\frac{12a}{6} = 2\) より 2a = 2 を解いて a = 1
(48) y = x + 4
【解説】x = -2 を代入すると y = 2、x = 4 を代入すると y = 8。よって A(-2, 2)、B(4, 8) を通る直線を求める。傾きは \(\frac{8 - 2}{4 - (-2)} = \frac{6}{6} = 1\) となる。y = x + b に (-2, 2) を代入して b = 4
(49) 12
【解説】直線 y = x + 4 と y 軸との交点Cの座標は (0, 4)。三角形OABは、y 軸を境に2つの三角形に分けて面積を計算する。底辺をOC（長さ4）とすると、△OACの高さは 2、△OBCの高さは 4。よって、4 × 2 ÷ 2 + 4 × 4 ÷ 2 = 4 + 8 = 12
(50) y = 5x
【解説】三角形OABの面積を2等分し、原点Oを通る直線は、線分ABの中点を通る。点A(-2, 2)と点B(4, 8)の中点Mの座標は、x 座標が \(\frac{-2 + 4}{2} = 1\)、y 座標が \(\frac{2 + 8}{2} = 5\) より M(1, 5)。原点と (1, 5) を通る直線の式は y = 5x
【中学3年生向け】二次関数 練習問題(基礎～標準) 50本ノック まとめ
二次関数をマスターする最大のコツは、「面倒くさがらずに手を動かしてグラフを描く」ことです。間違えてしまった問題や、解説を読んで初めて理解できた問題は、必ずノートに簡単な座標軸と放物線を描き込み、視覚的に位置関係を整理しながらもう一度解き直してみてください。
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