【中学3年生向け】展開・因数分解 計算問題 50本ノック(標準～発展編)

【解説】展開（発展レベル）

■大問2
8. (x + y)^2 - (x - y)^2
A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) の公式を使うと早い。
= \{(x + y) + (x - y)\}\{(x + y) - (x - y)\}
= (2x)(2y) = 4xy

9. (a + b - 3)(a + b + 3)
a + b = M と置く。
= (M - 3)(M + 3) = M^2 - 9
= (a + b)^2 - 9 = a^2 + 2ab + b^2 - 9

10〜13.
同じように、共通する部分を M と置いて展開し、最後に元に戻す。

14. (a + b - c)(a - b + c)
後ろのカッコを -(b - c) でくくり、b - c = M と置くのがポイント。
= \{a + (b - c)\}\{a - (b - c)\}
= (a + M)(a - M) = a^2 - M^2
= a^2 - (b - c)^2 = a^2 - b^2 + 2bc - c^2

15. (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
x^2 + 1 = M と置く。
= (M + x)(M - x) = M^2 - x^2
= (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = x^4 + x^2 + 1

■大問3
16〜17, 19〜20.
前から順に (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 の公式を繰り返し使っていく。

18. (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)
掛ける順序を工夫し、(x - 1)(x + 1) と (x - 2)(x + 2) を先にそれぞれ展開する。
= (x^2 - 1)(x^2 - 4) = x^4 - 5x^2 + 4

21〜23. それぞれ展開してから、同類項をまとめる。

24. (x + y + 2)(x - y + 2)
(x + 2) + y と (x + 2) - y に並べ替え、x + 2 = M と置く。
= (M + y)(M - y) = M^2 - y^2 = (x + 2)^2 - y^2 = x^2 + 4x + 4 - y^2

25. a - b = M と置く。
= (M + 1)^2 - (M - 1)^2 = (M^2 + 2M + 1) - (M^2 - 2M + 1) = 4M = 4a - 4b

【解説】因数分解（発展レベル）

■大問5
31〜34. 共通部分を M と置いて因数分解し、最後に元に戻す。

35. (x - y)^2 - (x + y)^2
展開しても解けるが、A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) を使って式をカタマリで見抜くのがコツ。
= \{(x - y) + (x + y)\}\{(x - y) - (x + y)\}
= (2x)(-2y) = -4xy

■大問6
36. xy - 3x + 2y - 6
前2つを x で、後ろ2つを 2 でくくると共通因数が見える。
= x(y - 3) + 2(y - 3) = (x + 2)(y - 3)

39. a^2b + a^2 - b - 1
= a^2(b + 1) - (b + 1) = (a^2 - 1)(b + 1) = (a + 1)(a - 1)(b + 1)

40. x^3 - x^2 - x + 1
= x^2(x - 1) - (x - 1) = (x^2 - 1)(x - 1)
= (x + 1)(x - 1)(x - 1) = (x + 1)(x - 1)^2

■大問7
41. x^2 - 2xy + y^2 - 9
前半3つの項を因数分解して A^2 - B^2 の形を作る。
= (x - y)^2 - 3^2 = (x - y + 3)(x - y - 3)

42. a^2 - b^2 - 4b - 4
後半3つの項を - でくくるのがポイント。
= a^2 - (b^2 + 4b + 4) = a^2 - (b + 2)^2 = \{a + (b + 2)\}\{a - (b + 2)\}
= (a + b + 2)(a - b - 2)

45. 9a^2 - 16b^2 + 24b - 9
= 9a^2 - (16b^2 - 24b + 9) = (3a)^2 - (4b - 3)^2
= \{3a + (4b - 3)\}\{3a - (4b - 3)\} = (3a + 4b - 3)(3a - 4b + 3)

46. x^4 - 8x^2 + 16
x^2 = M と置く。
= M^2 - 8M + 16 = (M - 4)^2 = (x^2 - 4)^2
カッコの中がさらに因数分解できることに注意。
= \{(x + 2)(x - 2)\}^2 = (x + 2)^2(x - 2)^2

48. (x^2 - 2x)^2 - 11(x^2 - 2x) + 24
x^2 - 2x = M と置いて因数分解し、元に戻したあとにそれぞれのカッコ内をさらに因数分解する。
= (M - 3)(M - 8) = (x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 8)
= (x - 3)(x + 1)(x - 4)(x + 2)

49. x^2 - 5xy + 6y^2 + x - 2y
x について整理し、定数項（y だけの部分）を因数分解する。
= x^2 + (1 - 5y)x + 2y(3y - 1)
かけて 2y(3y - 1)、足して 1 - 5y になる組み合わせを探す。
-2y と -(3y - 1) を足すと -5y + 1 になるため、
= (x - 2y)\{x - (3y - 1)\} = (x - 2y)(x - 3y + 1)

50. a^2 + ab - 2b^2 - a + b
a について整理する。
= a^2 + (b - 1)a - b(2b - 1)
かけて -b(2b - 1)、足して b - 1 になる組み合わせは -b と 2b - 1。
= (a - b)\{a + (2b - 1)\} = (a - b)(a + 2b - 1)